Matematika igra presudnu ulogu u razumijevanju ponašanja i rada električni i elektronički sustavi . Polinomi, algebra, vjerojatnost, integracije i diferencijacije itd.… Čine značajan dio alata koji se koriste za rješavanje sustava. S porastom složenosti sustava potrebne su vrlo sofisticirane metode. Diferencijalne jednadžbe istaknuto se koriste za definiranje sustava upravljanja. Te je jednadžbe jednostavno riješiti. Ali složenost nastaje tijekom rješavanja diferencijalnih jednadžbi višeg reda. Da bi se riješile tako složene diferencijalne jednadžbe višeg reda, matematička metoda koja se pokazala učinkovitom je Laplaceova transformacija . Kako se ova transformacija široko koristi, korisno je znati za što su zapravo značili i kako rade.

Što je Laplaceova transformacija?

U matematici se transformacije primjenjuju za pretvaranje varijable iz jednog oblika u drugi kako bi se jednadžbom učinilo jednostavno rukovanje. Laplaceova transformacija prilično čini isto. Oni transformiraju diferencijalnu jednadžbu višeg reda u polinomni oblik koji je daleko lakši od izravnog rješavanja diferencijalne jednadžbe.

Ali postoje razne transformacije poput Fourierove transformacije, z transformira ono što Laplaceovu transformaciju čini posebnom? Glavna prednost Laplaceove transformacije je u tome što su definirane i za stabilne i za nestabilne sustave, dok su Fourierove transformacije definirane samo za stabilne sustave.

Laplaceova formula transformacije

Laplaceova transformacija funkcije f (t) u vremenskoj domeni, gdje je t stvarni broj veći ili jednak nuli, dana je kao F (s), gdje postoji s je kompleksni broj u frekvencijskoj domeni, tj. s = σ + jω
Gornja jednadžba smatra se jednostrano Jednadžba Laplaceove transformacije . Kada se granice prošire na cijelu stvarnu os, tada se Bilateralna Laplaceova transformacija može se definirati kao
U praktičnim sklopovima poput RC i RL krugovi obično se koriste početni uvjeti, pa se u svrhu analize primjenjuju jednostrane Laplaceove transformacije.
Kako je s = σ + jω, kada je σ = 0 Laplaceova transformacija ponaša se kao Fourierova transformacija.

“kako rade generatori izmjenične struje ”

Laplaceove formule transformacije

Uvjeti za primjenjivost Laplaceove transformacije

Laplasove transformacije nazivaju se integralne transformacije pa postoje neophodni uvjeti za konvergenciju tih transformacija.
tj. f mora biti lokalno integriran za interval [0, ∞) i ovisno o tome je li σ pozitivan ili negativan, e ^ (- σt) može propadati ili rasti. Za bilateralne Laplaceove transformacije, umjesto jedne vrijednosti, integral konvergira u određenom rasponu vrijednosti poznatom kao Regija konvergencije.

Svojstva Laplaceove transformacije:

Linearnost

Pomicanje vremena

“odaberite i postavite robotsku ruku ”

Pomak u S-domeni

Preokret vremena

Diferencijacija u S-domeni

Konvolucija u vremenu

Teorem početne vrijednosti

Teorem o početnoj vrijednosti primjenjuje se kada je u Laplaceovoj transformaciji stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika Teorem konačne vrijednosti:

Ako se svi polovi sF (s) nalaze u lijevoj polovini teorema konačne vrijednosti S-ravnine.

Inverzna Laplaceova transformacija

Zbog karakteristike konvergencije Laplaceove transformacije imaju i inverznu transformaciju. Laplaceove transformacije pokazuju mapiranje jedan-na-jedan iz jednog prostora funkcija u drugi. Formula za inverznu Laplaceovu transformaciju je

Kako izračunati Laplaceovu transformaciju?

Laplaceova transformacija čini jednadžbe jednostavnijima za rukovanje. Kada je dana diferencijalna jednadžba višeg reda, na nju se primjenjuje Laplaceova transformacija koja pretvara jednadžbu u algebarsku jednadžbu, što olakšava rukovanje. Zatim izračunavamo korijene pojednostavljenjem ove algebarske jednadžbe. Sada je pronađena inverzna Laplaceova transformacija jednostavnijeg izraza koja rješava zadanu diferencijalnu jednadžbu višeg reda.

Laplaceov izračun transformacije

Primjene Laplaceove transformacije

Analiza električnih i elektronički sklopovi .
Razbijanje složenih diferencijalnih jednadžbi na jednostavnije polinomske oblike.
Laplaceova transformacija daje informacije o postojanim, kao i o prijelaznim stanjima.
U strojnom učenju, Laplaceova transformacija koristi se za predviđanje i analizu u rudarstvu podataka.
Laplaceova transformacija pojednostavljuje proračune u modeliranju sustava.

Primjena Laplaceove transformacije u obradi signala

Laplaceove transformacije često se odlučuju za obradu signala. Uz Fourierovu transformaciju, i Laplaceova transformacija koristi se za proučavanje signala u frekvencijskom području. Kad su u frekvenciji male frekvencije u frekvencijskoj domeni, tada se može očekivati da će signal biti gladak u vremenskoj domeni. Filtriranje signala obično se vrši u frekvencijskoj domeni za koju Laplace djeluje kao važan alat za pretvaranje signala iz vremenske domene u frekvencijsku domenu.

Primjena Laplaceove transformacije u upravljačkim sustavima

Sustavi upravljanja obično su dizajnirani za kontrolu ponašanja drugih uređaja. Primjer upravljački sustavi može se kretati od jednostavnog regulatora za grijanje kuće do industrijskog sustava upravljanja koji regulira ponašanje strojeva.

Općenito, inženjeri upravljanja koriste diferencijalne jednadžbe za opisivanje ponašanja različitih funkcionalnih blokova zatvorene petlje. Laplasova transformacija ovdje se koristi za rješavanje tih jednadžbi bez gubitka ključnih podataka o varijablama.

Karakterizacija linearnih vremenski nepromjenjivih sustava pomoću Laplaceove transformacije

Za slučajni ROC sustava povezan sa sustavom, funkcija je desna polovina. Sustav je proturemetan ako je njegov impulsni odziv h (t) = 0 za t> 0.

Ako ROC sistemskih funkcija H (s) uključuje os jω, tada L.T.I. sustav se naziva stabilnim sustavom. Ako slučajni sustav s racionalnim sistemskim funkcijama H (s) ima negativne stvarne dijelove za sve svoje polove, tada je sustav stabilan.

Stoga je Laplaceova transformacija presudan alat u analiziranju krugova. Možemo reći da je stetoskop liječniku Laplaceova transformacija nadzornom inženjeru. Što smatrate Laplaceovom transformacijom? Na koji su vam način bili korisni?