Što je Bernoullijev teorem: Izvođenje i njegova ograničenja

Što je Bernoullijev teorem: Izvođenje i njegova ograničenja

Bernoullijeva teorema izumio je švicarski matematičar, naime Daniel Bernoulli, godine 1738. Ovaj teorem kaže da će se s povećanjem brzine protoka tekućine smanjiti tlak u tekućini na osnovu zakona o očuvanju energije. Nakon toga, Bernoullijevu jednadžbu izveo je Leonhard Euler u normalnom obliku 1752. godine. Ovaj članak razmatra pregled onoga što je Bernoullijev teorem, izvođenje, dokaz i njegove primjene.



Što je Bernoullijev teorem?

Definicija: Bernoullijev teorem navodi da je cijela mehanička energije tekućine koja uključuje gravitacijsku potencijalnu visinsku energiju, tada energija povezana sa silom tekućine i kinetička energija kretanja tekućine ostaje stabilna. Iz načela očuvanja energije može se izvesti ovaj teorem.


Bernoullijeva jednadžba poznata je i kao Bernoullijev princip. Kada primijenimo ovaj princip na tekućine u savršenom stanju, tada su i gustoća i tlak obrnuto proporcionalni. Tako će tekućina s manjom brzinom upotrijebiti više sile u usporedbi s tekućinom koja jako brzo teče.





Bernoullisov teorem

Bernoullisov teorem

Jednadžba Bernoullijeve teoreme

Formula Bernoullijeve jednadžbe glavni je odnos između sile, kinetičke energije kao i gravitacijske potencijalne energije tekućine u spremniku. Formula ovog teorema može se dati kao:



p + 12 ρ v2 + ρgh = stabilno

Iz gornje formule,


‘P’ je sila koju primjenjuje tekućina

‘V’ je brzina tekućine

‘Ρ’ je gustoća tekućine

'H' je visina spremnika

Ova jednadžba pruža ogroman uvid u stabilnost sile, brzine i visine.

Navedi i dokaži Bernoullijev teorem

Uzmimo u obzir laganu viskoznu tekućinu koja teče laminarnim protokom, tada će cjelokupna potencijalna, kinetička i energija pritiska biti konstantna. Dijagram Bernoullijevog teorema prikazan je u nastavku.

Razmotrimo idealnu tekućinu gustoće ‘ρ’ koja se kreće kroz cijev LM mijenjajući presjek.

Neka su tlakovi na krajevima L&M P1, P2, a područja presjeka na krajevima L&M A1, A2.

Ostavite da tekućina uđe s V1 brzina & odlazi brzinom V2.

Neka A1> A2

Iz jednadžbe kontinuiteta

A1V1 = A2V2

Neka je A1 iznad A2 (A1> A2), zatim V2> V1 i P2> P1

Masa tekućine koja ulazi na kraju „L“ za vrijeme „t“, tada je udaljenost koju prelazi tekućina v1t.

Dakle, rad izveden silom preko završetka tekućine 'L' kraj unutar 'vremena može se izvesti kao

W1 = sila x pomak = P1A1v1t

Kad ista masa 'm' odmakne od kraja 'M' u vremenu 't', tada tekućina prekriva udaljenost kroz v2t

Dakle, rad izveden kroz tekućinu protiv pritiska zbog tlaka ‘P1’ može se izvesti

W2 = P2A2v2t

Mreža izvedena silom preko fluida u 't' vremenu dana je kao

W = W1-W2

= P1A1v1t- P2A2v2t

Ovaj se rad može izvršiti na tekućini silom, a zatim povećava svoju potencijalnu i kinetičku energiju.

Kada je porast kinetičke energije u tekućini

Δk = 1/2 m (v22-v12)

Slično tome, kada se u tekućini poveća potencijalna energija

Δp = mg (h2-h1)

Na temelju odnosa rad-energija

P1A1v1t- P2A2v2t

= 1/2 m (v22-v12) - mg (h2-h1)

Ako ne postoji sudoper i izvor tekućine, tada je masa tekućine koja ulazi na „L“ kraju ekvivalentna masi tekućine koja izlazi iz cijevi na kraju „M“ može se izvesti na sljedeći način.

A1v1 ρ t = A2v2 ρt = m

A1v1t = A2v2t = m / ρ

Zamijenite ovu vrijednost u gornjoj jednadžbi poput P1A1v1t-P2A2v2t

P1 m / ρ - P2 m / ρ

1/2 m (v22-v12) - mg (h2-h1)

tj. P / ρ + gh + 1 / 2v2 = konstanta

Ograničenja

Ograničenja Bernoullijevog teorema uključuju sljedeće.

  • Brzina čestica fluida u sredini cijevi je najveća i polako se smanjuje u smjeru cijev zbog trenja. Kao rezultat toga, jednostavno mora biti u uporabi srednja brzina tekućine jer čestice brzine tekućine nisu dosljedne.
  • Ova je jednadžba primjenjiva za pojednostavljivanje opskrbe tekućinom. Nije prikladno za turbulentno ili nestalno strujanje.
  • Vanjska sila tekućine utjecati će na protok tekućine.
  • Ovaj se teorem poželjno odnosi na tekućine bez viskoznosti
  • Tekućina mora biti nestisljiva
  • Ako se tekućina kreće zakrivljenom trakom, tada se mora uzeti u obzir energija zbog centrifugalnih sila
  • Protok tekućine ne bi se trebao mijenjati s obzirom na vrijeme
  • U nestabilnom protoku malo kinetičke energije može se pretvoriti u toplinsku energiju, a u debelom protoku neka energija može nestati zbog posmične sile. Stoga se ovi gubici moraju zanemariti.
  • Učinak viskoznosti mora biti zanemariv

Prijave

The primjene Bernoullijevog teorema uključuju sljedeće.

Premještanje brodova paralelno

Kad god se dva čamca kreću jedna pored druge u sličnom smjeru, tada će zrak ili voda biti između toga, što se brže kreće u usporedbi s onim kada su čamci na udaljenim stranama. Dakle, prema Bernoullijevom teoremu, sila između njih će biti smanjena. Zbog toga se zbog promjene pritiska čamci povlače u smjeru jedni drugih zbog privlačenja.

Zrakoplov

Avion radi na principu Bernoullijevog teorema. Krila aviona imaju specifičan oblik. Kad se avion pomiče, zrak ga prelijeva velikom brzinom za razliku od njegove niske površinske perike. Zbog Bernoullijevog principa postoji razlika u protoku zraka iznad i ispod krila. Dakle, ovaj princip stvara promjenu tlaka zbog protoka zraka na gornjoj površini krila. Ako je sila velika od mase aviona, tada će se avion podići

Raspršivač

Bernoullijev princip uglavnom se koristi u pištolju za bojenje, raspršivaču insekata i djelovanju rasplinjača. U njima se zbog gibanja klipa unutar cilindra može dovoditi velika brzina zraka na cijev koja je umočena u tekućinu za prskanje. Zrak velikom brzinom može stvoriti manji pritisak na cijev zbog porasta tekućine.

Puhanje krovova

Problemi u atmosferi zbog kiše, tuče, snijega, krovovi koliba puhat će bez štete na drugom dijelu kolibe. Vjetar koji puše stvara malu težinu na krovu. Sila ispod krova veća je od niskog tlaka zbog razlike u tlaku koji se može podići i otpuhati vjetrom.

Bunsen plamenik

U ovom plameniku mlaznica generira plin velikom brzinom. Zbog toga će se sila unutar stabla plamenika smanjiti. Dakle, zrak iz okoline ulazi u plamenik.

Magnusov efekt

Jednom kada se baci rotirajuća kugla, ona se odmiče od svog normalnog puta unutar leta. Dakle, ovo je poznato kao Magnusov efekt. Ovaj učinak igra bitnu ulogu u kriketu, nogometu, tenisu itd.

Dakle, ovdje se radi o svemu pregled Bernoullijevog teorema , jednadžba, izvođenje i njegove primjene. Evo pitanja za vas, koji su